WARNING: This article may be obsoleteThis post was published in 2022-06-09. Obviously, expired content is less useful to users if it has already pasted its expiration date.
This article is categorized as "Garbage" . It should NEVER be appeared in your search engine's results.这篇文章鸽了很多内容，其中最重要的“三角函数的正交性”还没来得及继续学就去搞Viterbi了；
这篇文章后面又被补充了大量基础知识基础概念，但“三角函数的正交性”仍然没有学习。
重新复习傅里叶
从离散傅里叶开始推导，但基本跳过连续傅里叶的内容（因为用得少）
Table of Contents
三角函数
🔗 [三角函数公式 - Easymath-wiki] https://easymath-wiki.org/初等数学/三角函数/02三角公式/
主要关注 诱导公式 ，用于下面的DFT计算。比如推导：
[mathjax-d]\cos \left(2 \pi \frac{38 n}{40}\right)=\cos \left(2 \pi n-2 \pi \frac{38 n}{40}\right)=\cos \left(2 \pi \frac{2 n}{40}\right)[/mathjax-d]这是因为
[mathjax-d]\cos(\theta+2k\pi)=\cos(\theta), \cos(-\theta+2k\pi)=\cos(\theta)[/mathjax-d]
和角公式
[mathjax-d]\begin{aligned} &\sin (a+b)=\sin a \cos b+\cos a \sin b \\ &\sin (a-b)=\sin a \cos b-\cos a \sin b \\ &\cos (a+b)=\cos a \cos b-\sin a \sin b \\ &\cos (a-b)=\cos a \cos b+\sin a \sin b \end{aligned}[/mathjax-d]可以用来推导下面的 和差化积、积化和差 .
和差化积、积化和差（可以使用上面的 和角公式 进行推导）
[mathjax-d]\begin{aligned} &\sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \\ &\sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \\ &\cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \\ &\cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \end{aligned}[/mathjax-d] [mathjax-d]\begin{aligned} \sin \alpha \cos \beta &=\frac{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)}{2} \\ \cos \alpha \sin \beta &=\frac{\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)}{2} \\ \cos \alpha \cos \beta &=\frac{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)}{2} \\ \sin \alpha \sin \beta &=-\frac{\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)}{2} \end{aligned}[/mathjax-d]正弦波信号
特别注意
数字角频率和模拟角频率的2种符号要防止混淆：
本次笔记将同时采用这2种写法。
正弦波信号的前置概念
为了方便理解正弦波信号，先收集足够多的前置概念以免混淆：
最重要的内容
最重要的内容在于对3种频率的理解以及最后的例题
数字信号和模拟信号
模拟信号是连续的，数字信号是离散的
角度（Angle）、弧度（Radian/rad）、转（Turn）
🔗 [弧度 - 维基百科，自由的百科全书] https://zh.wikipedia.org/wiki/弧度
三种频率
（注：本节内容和之后的一些内容有所重复）
模拟频率[mathjax]f[/mathjax]：“每秒时间内信号旋转的圈数” / “信号在1秒内重复的次数”
🔗 [模拟频率与数字频率_deepdsp的博客-CSDN博客数字频率与模拟频率的关系] https://blog.csdn.net/deepdsp/article/details/7272186
模拟角频率[mathjax]\Omega[/mathjax]: “以弧度来表征转的圈数，一圈是[mathjax]2\pi[/mathjax]弧度” 。 所以[mathjax]\Omega=2\pi f[/mathjax].
数字频率：
（目前暂时认为数字频率 = 数字角频率）
“数字频率是对模拟频率的采样，数字频率代表的是两个采样点之间的间隔。“
来自：🔗 [三种频率之间的关系 - 知乎] https://zhuanlan.zhihu.com/p/95429428
周期
🔗 [週期 - 维基百科，自由的百科全书] https://zh.wikipedia.org/wiki/週期
週期（英語：Period）指的是完成往復運動一次所需要的時間，物理學上通常以 T 表示，單位為s。
采样率
🔗 [采样率 - 维基百科，自由的百科全书] https://zh.wikipedia.org/wiki/采样率
采样率（也称为采样速度或者采样频率）定义了每秒从连续信号中提取并组成离散信号的采样个数，它用赫兹（Hz）来表示。采样频率的倒数叫作采样周期或采样时间，它是采样之间的时间间隔。注意不要将采样率与比特率（bit rate，亦称“位元率”）相混淆。
模拟角频率和数字角频率（略有重复）
（目前暂时认为数字频率 = 数字角频率，模拟角频率 = 模拟频率）
最容易理解的来源：🔗 [数字角频率ω与模拟角频率Ω的理解 - 知乎] https://zhuanlan.zhihu.com/p/53664104 来自评论区第一条：
所以模拟角频率：[mathjax]\Omega=2\pi f[/mathjax]，单位：rad/s（解释：每秒转动的弧度）
数字角频率：[mathjax]\omega=\frac{2\pi f}{f_s}[/mathjax]，单位：rad（解释：两个相邻采样点之间的弧度）
有的时候不同教材不同标准会使用相反的符号来表达这2种角频率，但完全不用担心混淆它们：它们应用的领域是完全不同的，一个是模拟信号/连续信号，另一个是数字信号/离散信号。
模拟频率转换为数字频率
场景：在连续的模拟信号上取样组成离散的数字信号。
例题来自：🔗 [模拟频率与数字频率_deepdsp的博客-CSDN博客数字频率与模拟频率的关系] https://blog.csdn.net/deepdsp/article/details/7272186
假定有一个正弦信号[mathjax]x(t)[/mathjax]，频率为[mathjax]f=100Hz[/mathjax]，幅度为[mathjax]A[/mathjax]，初始相位为0，则这个模拟信号用公式可以表示为：
[mathjax-d]x(t)=A\sin(2\pi 100t)[/mathjax-d]
用采样频率[mathjax]f_s=500Hz[/mathjax]对它进行采样，则得到的数字信号如何用公式表达？
答案
[mathjax-d]x[n]=A\sin(\frac{2\pi f}{f_s})=A\sin(0.4\pi n)[/mathjax-d]在原题中有一个结论：
数字信号的频率确实是[mathjax]0.4\pi[/mathjax]，注意这是数字角频率！
复习（该章节存在未解决的问题）
这个slide包含了大部分本次笔记的知识点：🔗 [Discrete-Time Sinusoids] https://www.comm.utoronto.ca/~dkundur/course_info/signals/notes/Kundur_DstTimeSinusoids.pdf
但特别注意，p16/23仍然存在一个没搞明白的内容：
（补充：我猜测这里可能想写的是[mathjax]x_1(t) \perp x_2(t)[/mathjax]）
看起来完全不可理喻，反例：🔗 [Finding the intersection of two sinusoids with variable frequency, but only when the intersection occurs on the x-axis?：math] https://www.reddit.com/r/math/comments/1o4k9r/finding_the_intersection_of_two_sinusoids_with/
正弦波信号公式
模拟信号
🔗 [Sine wave - Wikipedia] https://en.wikipedia.org/wiki/Sine_wave
[mathjax]y(t)=A \sin (2 \pi f t+\varphi)=A \sin (\omega t+\varphi)[/mathjax]，且[mathjax]f=\frac{1}{T}[/mathjax]
解释如下：
[mathjax]T[/mathjax]: 周期；
数字信号
[mathjax]y[n]=A \sin (\Omega n+\varphi)[/mathjax], [mathjax]\Omega=\frac{2\pi f}{f_s}[/mathjax].
周期换算
🔗 [周期函数 - 维基百科，自由的百科全书] https://zh.wikipedia.org/wiki/周期函数
所以对于这个正弦波 [mathjax]y(t)=A \sin (2 \pi f t+\varphi)=A \sin (\omega t+\varphi)[/mathjax] 而言，[mathjax]f=\frac{1}{T}[/mathjax]，因为：
[mathjax-d]\displaylines{ y(t)=A \sin (2 \pi f t+\varphi), \cr \begin{aligned} y(t+T)&=A \sin [2 \pi f (t+T)+\varphi] \\ &=A \sin [2 \pi f (t+\frac{1}{f})+\varphi] \\ &=A \sin (2 \pi f t+2\pi+\varphi) \\ &=A \sin (2 \pi f t+\varphi) \\ &=y(t) \end{aligned} }[/mathjax-d]根据周期的定义可知[mathjax]T=\frac{1}{f}[/mathjax].
图例
用这个例子来确保自己对正弦波的记忆不会出问题：
正弦波程序1: 香农采样定理
matlab出了点问题...换python画好了。
仍然基于「如何通俗地解释什么是离散傅里叶变换？ - 肖畅的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/21314374/answer/542909849」的例题：
下面这个程序需要对比[mathjax]y(n)=\cos(2\cdot \pi \cdot \frac{2}{40} \cdot n)[/mathjax]，[mathjax]y(n)=\cos(2\cdot \pi \cdot \frac{38}{40} \cdot n)[/mathjax]，以及[mathjax]y(n)=\cos(2\cdot \pi \cdot \frac{4}{40} \cdot n)[/mathjax]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.arange(0, 40, 1)
f1 = 2 / 40
f2 = 4 / 40
f3 = 38 / 40
y1 = np.cos(2 * np.pi * f1 * t)
y2 = np.cos(2 * np.pi * f2 * t)
y3 = np.cos(2 * np.pi * f3 * t)
plt.figure()
plt.plot(y1)
plt.grid()
plt.title('f=2/40')
plt.savefig('1.png')
plt.figure()
plt.plot(y2)
plt.grid()
plt.title('f=4/40')
plt.savefig('2.png')
plt.figure()
plt.plot(y3)
plt.grid()
plt.title('f=38/40')
plt.savefig('3.png')
等等，看起来有一点点反直觉，为什么有的时候随着[mathjax]f[/mathjax]的增大，正弦曲线未必会变得密集呢？
呃呃，这玩意首先是 栅栏效应 引起的，随着频率的增加，采样率却没有增加（在这里采样率为定值），导致了严重的栅栏效应。在此之前记录过有关栅栏效应的内容，见：🔗 [ASPMA补充材料（2）：(zero) padding, zero phase zero padding - Truxton's blog] https://truxton2blog.com/aspma-syllabus-review-supplement-2-zero-padding-zero-phase/
在继续探讨这个问题之前，首先明确以上代码对应的基本参数：
代码： t = np.arange(0, 40, 1) ，所以每1s采样一个点，40s采样了40个点。根据[mathjax]F_s[/mathjax]的定义： The sampling frequency or sampling rate, fs, is the average number of samples obtained in one second. （来源），所以在这里[mathjax]F_s=1[/mathjax].
我们可能会对[mathjax]f=\frac{20}{40}[/mathjax]感兴趣，是因为：
如果把上面的python程序写全，让它计算[mathjax]\frac{0}{40}\sim\frac{39}{40}[/mathjax]，则会看到：
python代码
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.arange(0, 40, 1)
for i in range(0, 40):
f = i / 40
y = np.cos(2 * np.pi * f * t)
plt.figure()
plt.plot(y)
plt.grid()
plt.title('f=%s/40' % i)
plt.savefig('%s.png' % i)
[mathjax]f=\frac{20}{40}[/mathjax]看起来也最为特殊。但它距离「满足香农采样定理」就差一点点。也就是说[mathjax]f=\frac{20}{40}[/mathjax]仍然无法恢复原来的正弦波信号。
参考：🔗 [Why is the Nyquist(Shannon) sampling rate exactly 2 times the maximum frequency? Where is the proof for that constant 2? - Quora] https://www.quora.com/Why-is-the-Nyquist-Shannon-sampling-rate-exactly-2-times-the-maximum-frequency-Where-is-the-proof-for-that-constant-2，这里提到了1个重要的知识：
Because you need at least 3 samples per signal period, to uniquely interpolate the original signal.
又：🔗 [600.457 Lecture Week 3] https://www.cs.jhu.edu/~subodh/457/antialias.html 有一张图：
可以看出[mathjax]F_s=2f[/mathjax]确实无法恢复唯一的正弦信号。
另注：上图中「还原信号和原有信号频率不一致」的现象又称为 Aliasing .
三角函数的正交性
扯远了，继续看「如何通俗地解释什么是离散傅里叶变换？ - 肖畅的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/21314374/answer/542909849」的例题：
这里遇到了很多问题，首先要解决的就是「三角函数的正交性」：
更确切地描述：
只要使用 积化和差 即可证明（积化和差公式写在本笔记前面：preview）。网上有很多教学资源，比如：🔗 [三角函数正交性的推导_码农u号的博客-CSDN博客三角函数正交性] https://blog.csdn.net/qq_29545231/article/details/108547437，或者：🔗 [Microsoft Word - Summary 259.doc] https://ocw.chu.edu.tw/pluginfile.php/861/mod_resource/content/14/Summary_259.pdf
推导过程中涉及的关键步骤：
三角形的正交性变体—奇怪的离散版本
我也不知道最开始我是怎么从三角函数正交性推导到这里来的：
现在是2022-08-26，距离2022-06-09的笔记已经过去了一段时间。我自己都忘了当时是从哪里看到这个公式的，总之，我们现在有：
[mathjax-d]\sum_{t=0}^{M-1}\cos(2\pi \frac{N}{M}t)=0; 0< N< M, M>=2[/mathjax-d]比如：
[mathjax-d]\sum_{t=0}^{39}\cos(2\pi \frac{7}{40}t)=0[/mathjax-d]或者
[mathjax-d]\sum_{t=0}^{39}\cos(2\pi \frac{17}{40}t)=0[/mathjax-d]一段佐证程序：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.arange(0, 40, 1)
f1 = 14 / 40
y = np.cos(2 * np.pi * f1 * t)
f2 = 7 / 40
y2 = np.cos(2 * np.pi * f2 * t)
pro = y * y2
plt.figure()
plt.grid()
# plt.plot(y)
# plt.plot(y2)
plt.plot(pro, marker=".")
plt.savefig('1.png')
print(np.dot(y, y2))
第16行得到：
第19行得到： 1.4432899320127035e-15 .
上面这张图起码还能看出个大概（有很明显的轴对称关系），也很容易证明，但把程序里的40改成19这样的奇数就恶心很多了：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.arange(0, 39, 1)
f1 = 14 / 19
y = np.cos(2 * np.pi * f1 * t)
f2 = 7 / 19
y2 = np.cos(2 * np.pi * f2 * t)
pro = y * y2
plt.figure()
plt.grid()
# plt.plot(y)
# plt.plot(y2)
plt.plot(pro, marker=".")
plt.savefig('1.png')
print(np.dot(y, y2))第15行得到： -1.2365108936762681e-14
证明方法：用欧拉公式展开，求等比数列的和，并利用[mathjax]e^{j2\pi N}=1[/mathjax]（N是整数）这个重要的性质。
其他思路可以参考： 🔗 [Limit of series involving sum of cosines $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \cos(\frac{2k\pi}{n})$ - Mathematics Stack Exchange] https://math.stackexchange.com/questions/4136552/limit-of-series-involving-sum-of-cosines-lim-n-to-infty-sum-k-0n-co
（继续上面的内容）三角函数的有限和
* 下面的内容是2022-09-10补充的。
* 有关三角函数有限和的拓展阅读：🔗 [三角函数基本关系和公式 | Fan's Math World] https://fanhongtao.github.io/math/san-jiao-han-shu-ji-ben-guan-xi-he-gong-shi.html
一直没搞明白当时我是如何莫名其妙推导到这个公式的：
[mathjax-d]\sum_{t=0}^{M-1}\cos(2\pi \frac{N}{M}t)=0; 0< N< M, M>=2[/mathjax-d]直到后来我看到奥本海姆信号与系统P134：
好像很类似！当然，上面那个公式只是一种特殊情况，现在继续上面的公式，把它写成一个更一般的公式（暂时先抛开奥本海姆的公式）：
[mathjax-d]\sum_{t=0}^{M-1}\cos(2\pi \frac{N}{M}t)=0; 0< N< M, M>=2[/mathjax-d]
这个公式推导起来就要比前面那个特殊情况下的公式要难一些了。特殊情况下的公式推导见本笔记前面。
推导如下：
现在再用相同的思路推导奥本海姆书上的公式（思路一样，只是写法略有不同，所以下面的推导步骤比较简略）
