2022-09-01 - Truxton's blog

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Table of Contents

今天从哪里开始？

从昨天的笔记的末尾继续：

停！现在准备开始跳跃一些内容。由于差不多理解了傅里叶级数，现在可以试试连续信号的傅里叶变换和离散信号的傅里叶变换是否能看懂了！

后续更新：成功了一半。连续信号的傅里叶变换看完了，离散信号的傅里叶变换看完了一半，发现少了一个很重要的地方缺失了：周期离散信号的傅里叶级数如何表示：

P133

（没完全学明白）（非周期信号）连续时间傅里叶变换

笔记1：对非周期信号的一些想法

从P180开始

首先明确几个猜想（自己在学习之前瞎想的，不一定对）：

~~1，只要没有用明确公式表示一个无限长的信号，经过傅里叶变换后一定无法100%还原信号的频谱图。~~ 这条结论有点混乱，应该这么说：

假设x(t)=cos(t)对所有t都生效，但我们并不知道这个公式，我们只观察到了一段有限时间内的信号是cos(t)，那么用这样一段有限信号得到的频谱图一定有瑕疵，不能得到那种完美的频谱图。

2，上面的第一条猜想对离散、连续信号都是如此。只要无法获取无限长的信号，傅里叶变化后得到的都只能是真实频谱的近似结果。

趁还清醒，整理一下当前的想法：

我发现我很难真正理解P181~P182，或者说P181~P182这两页写的实在是太好了，导致我的笔记没办法做到“更直观易懂”。所以下面贴的笔记只有P181内容的前导。

2022-09-03继续在这里写：

我发现我理解不了“越来越密集的采样”的一个主要原因是我无法理解“对连续信号的采样“。

决定先从这里入手，看看能不能更好的理解上面写的内容。

总结：

目前仍然认为有难以理解的地方，由于不想花太多时间，决定跳过了，但是在跳过之前决定把所有有参考价值的东西都写下来。

一段代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(1, 10, num=1000)
y = np.cos(x) / x

xn = np.linspace(1, 10, num=10)
yn = np.cos(xn) / xn

plt.figure()
plt.plot(x, y)
plt.scatter(xn, yn, marker='.', color='red')
plt.show()

xn = np.linspace(1, 10, num=20)
yn = np.cos(xn) / xn

plt.figure()
plt.plot(x, y)
plt.scatter(xn, yn, marker='.', color='green')
plt.show()

xn = np.linspace(2, 20, num=20)
yn = np.cos(1 / 2 * xn) / (1 / 2 * xn)
plt.figure()
plt.plot(x, y)
plt.scatter(1 / 2 * xn, yn, marker='.', color='green')
plt.show()

结果为：

对包络的理解

目前认为最难理解的一部分：

P182

我能够想象得到，随着[mathjax]T[/mathjax]增大，[mathjax]\omega_0[/mathjax]减小，[mathjax]k\omega_0[/mathjax]在坐标轴上越来越“密集”，所以[mathjax]a_k[/mathjax]和[mathjax]k\omega_0[/mathjax]构成的的函数也会越来越“密集”，这样随着[mathjax]\omega_0[/mathjax]无限接近0，原本离散的[mathjax]a_k[/mathjax]会越来越接近连续的[mathjax]a_k[/mathjax] .

但非常恶心的地方在于，我没法用一个数学公式推导出“是的，确实会越来越密集”。

2022-09-17，我尝试补充一点我对这部分内容的理解：

但无论如何，结论还是可以记的：

P182~P183

一些临时的结论

所以说：

一个非常关键的总结写在最前面：周期信号的复指数信号出现在离散的[mathjax]a_k[/mathjax]上，非周期信号的复指数信号出现在连续的[mathjax]a_k[/mathjax]上 . 接下来的内容讨论的范畴基本上也都是非周期信号的（周期信号比较简单，可以直接求的，已经在傅里叶级数的时候就学过了）。

首先我有一个连续信号[mathjax]x(t)[/mathjax]；

接下来我要观察一个公式：

[mathjax-d]a_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)e^{-jk\omega_0 t}dt[/mathjax-d]

（先不要管那个破包络函数了，我们先理解出频谱图再说）

我的输入信号[mathjax]x(t)[/mathjax]是周期信号吗？（上面这个公式的右半边需要我们提供[mathjax]T[/mathjax]）

如果是周期信号，那就直接把[mathjax]T[/mathjax]代入上面公式的右边，得到一系列复指数信号的强度分量[mathjax]a_k[/mathjax]。结束了！这个时候我们得到的是离散的[mathjax]a_k[/mathjax] . 考虑到某些喜好问题，这里还可以写成[mathjax]a_n[/mathjax]，进一步暗示[mathjax]a_n[/mathjax]是离散的数值。

如果不是周期信号，那我们就进行一点小小的欺骗：假设它是周期信号，只是它会在坐标轴很远很远（无限接近[mathjax]\infty[/mathjax]）的地方，重复这个信号。从上面的笔记可以得知，[mathjax]T[/mathjax]越大（周期信号重复的地方在非常非常非常远的位置），[mathjax]a_k[/mathjax]的“精度”就越高。但这个时候又出现了另一个问题：[mathjax]T[/mathjax]接近无穷大，[mathjax]\omega_0[/mathjax]接近0，那上面这个[mathjax]a_k[/mathjax]怎么求哦？首先我们要注意一个问题：虽然随着[mathjax]T[/mathjax]不断增大，[mathjax]a_k[/mathjax]会越来越小，但如果用绘图软件进行绘制，不同的[mathjax]T[/mathjax]仅仅会让坐标轴上的数字不同而已。其次要注意这个乘法算式除了一个接近0的[mathjax]\frac{1}{T}[/mathjax]，还有一个看起来难以捉摸的[mathjax]\int\limits_{-\infty}^{+\infty}[/mathjax]，所以很多时候并不能武断地下结论认为[mathjax]a_k[/mathjax]会“不好求”。（事实上，根据书中P184~P186的各种例题可知，很多拿来分析的包络函数/频谱图[mathjax]X(j\omega)[/mathjax]都是有常数峰值的）。为了避免这个不太愉快的问题，我们干脆把[mathjax]\frac{1}{T}[/mathjax]去掉，只拿[mathjax]{\color{red}{X}}(j\omega t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt[/mathjax]（这就是所谓的包络函数）出来当作频谱图！ 这部分笔记有点问题，建议参考本笔记上面补充的这张图。T越来越接近无穷大并不是什么问题，因为我们要探究的是各频率之间的相对关系，而不是强度分量的绝对数值。随便找一张频谱图为例，我们对频谱图的y轴上的绝对数值大小并不感兴趣，我们只对频谱图的形状感兴趣。

此外，由于[mathjax]\omega_0[/mathjax]越来越接近0，由包络函数反推回[mathjax]x(t)[/mathjax]的表达式也发生了变化：（注意下面红色的[mathjax]\color{red}X[/mathjax]代表的是包络函数）

[mathjax-d]x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0 t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T}{\color{red}{X}}(jk\omega_0)e^{jk\omega_0 t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\color{red}{X}}(j\omega)e^{j\omega t}d\omega[/mathjax-d]