introduction to linear algebra - chapter 2学习

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Table of Contents

(Top)

使用的是第4版（2009）

chapter 2 solving linear equations

chapter 1的笔记：🔗 [introduction to linear algebra - chapter 1学习 - Truxton's blog] https://truxton2blog.com/introduction-to-linear-algebra-chapter-1/

2.1 vectors and linear equations

行空间/列空间

row picture and column picture

行空间/列空间

p34

看到这里才确认这本书确实是和MIT 18.06联系在一起的，这本书的chapter 1可能是被跳过了，视频的第一节就是从row picture/column picture开始讲的

可以从row picture和column picture两个角度再次想象一下矩阵满秩/不满秩的情形：

row picture，不满秩：张成的空间维度不够

column picture，不满秩：由于这些向量并不是线性无关的，至少有1组向量（记为k）可以用其他向量线性表达，这就意味着column k处在那个线性表达的空间里面，无法形成更高的维度。

此外p47还能看到2维坐标系下的不满秩情况：

上一张图居然提到了无解的情形，这个时候回忆上一个笔记就会发现no solution的情况似乎并没有列出来。这其实并不矛盾，因为上一个笔记的情形是Ax=0，在Ax=0（homogeneous system，齐次坐标系）的范畴内只有两种情况：唯一解，和无穷多的解。而在Ax=b（b≠0，非齐次坐标系）的范畴内有3种情况：唯一解，无穷多的解，没有解。这部分内容可以参考🔗 [rank2005.pdf] https://www.math.tamu.edu/~fnarc/psfiles/rank2005.pdf

或者说，Ax=0再不济也有x=0这个一定存在的解

	one solution	infinite solutions	no solution
Ax=0	✅	✅	❌
Ax=b (b≠0)	✅	✅	✅

此外p48还能看到2维坐标系下的无穷解-不满秩的情况：

以及再一次记住Ax=b的两种表达方式

做点题目

好像都学过了，看看题目

29和30

马尔可夫矩阵

当然以前写过这样的程序：🔗 [2021-12-21 - Truxton's blog] https://truxton2blog.com/2021-12-21/

直接把程序搬过来就能用：

import numpy as np


def pn(a, n):
    k = a
    for i in range(0, n):
        k = k @ a
    return k


a = np.array([
    [0.8, 0.7],
    [0.2, 0.3]
])
print(pn(a, 5))
print()
print(pn(a, 10))
print()
print(pn(a, 20))
print()
print(pn(a, 100))
print()
print(pn(a, 200))

当然，另一边也要试着推导一下马尔可夫矩阵的这一性质：