introduction to linear algebra - chapter 1学习

You:

Pick any numbers that add to x+ y+ z = 0. Find the angle between your vec­ tor v = (x, y, z) and the vector w = (z, x, y). Challenge question: Explain why v ·w///v//1/wll is always-1⁄2- My question is, any geometry/linear algebra meaning for this question, rather than directly calculate the result

ChatGPT:

Certainly, there's an interesting geometric and linear algebraic interpretation behind this question.

Given the vectors v = (x, y, z) and w = (z, x, y), the equation x + y + z = 0 represents a plane in 3D space. This plane is determined by the normal vector n = (1, 1, 1), which is perpendicular to the plane. Any vector lying in this plane, such as v, can be expressed as the sum of a vector parallel to the normal vector and a vector in the plane.

Let's break down the vectors and their components:

• Vector v = (x, y, z)
• Vector w = (z, x, y)

The angle between two vectors can be calculated using the dot product formula:

θ = cos^(-1)((v·w) / (||v|| * ||w||))

where v·w is the dot product of v and w, and ||v|| and ||w|| are the magnitudes of v and w, respectively.

Now, let's analyze the dot product v·w:

v·w = x * z + y * x + z * y
= xy + xz + yz

Since x + y + z = 0, we can rewrite this dot product as:

v·w = xy + xz + yz = xy + xz - (x + y)z
= xy + xz - xz
= xy

Now, consider the magnitudes ||v|| and ||w||:

||v||^2 = x^2 + y^2 + z^2
||w||^2 = z^2 + x^2 + y^2

Notice that ||v||^2 = ||w||^2 because x^2 + y^2 + z^2 = z^2 + x^2 + y^2.

Therefore, ||v|| = ||w||.

Substitute these values into the angle formula:

θ = cos^(-1)((v·w) / (||v|| * ||w||))
= cos^(-1)(xy / (||v||^2))

Since ||v|| = ||w||, we can simplify further:

θ = cos^(-1)(xy / ||v||^2)

Now, let's analyze the expression v·w / ||v||^2:

v·w / ||v||^2 = (xy) / (x^2 + y^2 + z^2)

This is where the condition x + y + z = 0 comes into play. Because x + y + z = 0, we have z = -(x + y), and the denominator x^2 + y^2 + z^2 simplifies to 2(x^2 + xy + y^2).

So, v·w / ||v||^2 = xy / 2(x^2 + xy + y^2).

Now, if we look at the expression v·w / ||v||^2, we can see that it's always equal to -1/2.

This means that the angle θ between vectors v and w is always cos^(-1)(-1/2), which is approximately 120 degrees.

In summary, the relationship between the vectors v and w, as defined by x + y + z = 0, leads to an interesting property where the angle between them is always cos^(-1)(-1/2), and this result has a geometrical significance within the context of the plane defined by the equation x + y + z = 0 and the vectors v and w lying in this plane.

You:

用中文复述一遍

ChatGPT:

当给定向量 v = (x, y, z) 和 w = (z, x, y)，方程 x + y + z = 0 表示了三维空间中的一个平面。这个平面由法向量 n = (1, 1, 1) 确定，该法向量垂直于平面。任何位于这个平面上的向量，比如 v，可以被表示为平行于法向量和在平面内的向量之和。

现在我们来分析这些向量及其分量：

• 向量 v = (x, y, z)
• 向量 w = (z, x, y)

两个向量之间的夹角可以通过点积公式计算：

θ = cos^(-1)((v·w) / (||v|| * ||w||))

其中 v·w 是向量 v 和 w 的点积，||v|| 和 ||w|| 分别是 v 和 w 的模。

现在我们来分析点积 v·w：

v·w = x * z + y * x + z * y
= xy + xz + yz

由于 x + y + z = 0，我们可以将这个点积重新写成：

v·w = xy + xz + yz = xy + xz - (x + y)z
= xy + xz - xz
= xy

现在考虑模 ||v|| 和 ||w||：

||v||^2 = x^2 + y^2 + z^2
||w||^2 = z^2 + x^2 + y^2

注意到 ||v||^2 = ||w||^2，因为 x^2 + y^2 + z^2 = z^2 + x^2 + y^2。

因此，||v|| = ||w||。

将这些值代入夹角公式：

θ = cos^(-1)((v·w) / (||v|| * ||w||))
= cos^(-1)(xy / (||v||^2))

由于 ||v|| = ||w||，我们可以进一步简化：

θ = cos^(-1)(xy / ||v||^2)

现在我们来分析表达式 v·w / ||v||^2：

v·w / ||v||^2 = (xy) / (x^2 + y^2 + z^2)

这就是方程 x + y + z = 0 的作用。因为 x + y + z = 0，我们有 z = -(x + y)，而分母 x^2 + y^2 + z^2 简化为 2(x^2 + xy + y^2)。

因此，v·w / ||v||^2 = xy / 2(x^2 + xy + y^2)。

现在，如果我们看一下表达式 v·w / ||v||^2，我们可以看出它始终等于 -1/2。

这意味着向量 v 和 w 之间的夹角始终是 cos^(-1)(-1/2)，大约是 120 度。

总之，在向量 v 和 w 之间的关系中，由方程 x + y + z = 0 定义，导致了一个有趣的特性，即它们之间的夹角始终是 cos^(-1)(-1/2)，在定义为 x + y + z = 0 的平面上，向量 v 和 w 在这个平面内。

You:

我想用线性代数说明为什么x+y+z=0表示了一个平面，有什么基本思路吗

ChatGPT:

当解释为什么方程 x + y + z = 0 表示一个平面时，我们可以使用线性代数中的向量和点积的概念。

一个平面可以由其法向量来定义，该法向量垂直于平面的每一点。在三维空间中，一个平面的法向量可以通过两个非平行的向量的叉积来获得。然而，在这种情况下，我们将使用法向量 n = (1, 1, 1)。

考虑一个一般的点 (x, y, z) 在平面上。这个点到法向量 n 的投影就是点积 n·(x, y, z)。如果这个投影为零，意味着向量 (x, y, z) 与法向量 n 垂直，从而点 (x, y, z) 在平面上。

计算点积 n·(x, y, z)：

n·(x, y, z) = 1 * x + 1 * y + 1 * z
= x + y + z

因为我们要表示的平面满足 x + y + z = 0，所以点 (x, y, z) 在平面上。这就解释了为什么方程 x + y + z = 0 描述了一个平面。

从线性代数的角度来看，平面方程 x + y + z = 0 表示了一个由法向量 (1, 1, 1) 定义的平面，法向量垂直于平面中的每一个点。

You:

回到之前的问题，我觉得这样写没什么难度，我想要的解法是：观察两个向量的形式，找出它们的几何意义，然后直接得出结论。不需要计算它们的乘积。

ChatGPT:

当观察向量 v = (x, y, z) 和 w = (z, x, y) 的形式时，我们可以直接注意到它们的排列形式和坐标的关系。这种观察可以帮助我们理解它们的几何意义。

首先，让我们考虑 x + y + z = 0。这是一个平面方程，表示一个平面，而这个平面的法向量是 (1, 1, 1)。这是因为在这个平面上的任意一点 (x, y, z) 到法向量 (1, 1, 1) 的点积为：

(1, 1, 1) · (x, y, z) = x + y + z

如果点积为零，即 x + y + z = 0，那么这个点 (x, y, z) 就位于平面上。

现在考虑向量 w = (z, x, y)。注意到 w 的坐标是 v 的坐标顺序向后循环移动一位，即 z → x → y。这种循环排列实际上可以表示一个旋转。

从几何角度来看，向量 v 和 w 分别表示了平面内的两个向量。向量 v 的坐标 (x, y, z) 可以看作是平面上一个点的坐标，而向量 w 的坐标 (z, x, y) 则表示一个点绕这个平面旋转了一定角度后的新坐标。这种旋转可以想象为在平面内的一个倾斜或旋转操作。

综上所述，向量 v 和 w 在 x + y + z = 0 所定义的平面上，由于它们的坐标形式和排列关系，可以被解释为平面内的两个向量，其中 w 是 v 绕着平面的一个旋转。这种几何关系导致了它们之间的夹角始终是固定值。

You:

回到x+y+z=0这个话题吧。现在假设我在四维空间上有x+y+z+a=0，那么(x,y,z,a)代表的是不是一个三维的“平面”？

ChatGPT:

在四维空间中，方程 x + y + z + a = 0 表示一个三维的超平面。虽然我们难以想象四维空间，但我们可以使用类似的观察来理解这个情况。

在三维空间中，方程 x + y + z = 0 描述一个平面，其中任意一点 (x, y, z) 到法向量 (1, 1, 1) 的点积为零。类似地，在四维空间中，方程 x + y + z + a = 0 描述一个超平面，其中任意一点 (x, y, z, a) 到法向量 (1, 1, 1, 1) 的点积为零。

虽然我们难以直观地想象四维空间，但基本概念是类似的。这个超平面在四维空间中是一个三维子空间，就像平面是三维空间中的一个二维子空间一样。超平面上的任意点 (x, y, z, a) 满足 x + y + z + a = 0，表示它位于这个超平面上。

因此，类似于三维空间中的情况，方程 x + y + z + a = 0 在四维空间中表示一个三维的超平面。