2022-09-02

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就一个内容:对2022-08-31(从向量内积理解傅里叶级数)内容的补充。
向量内积包含[mathjax]\int_\limits{-\infty}^{+\infty}[/mathjax]符号,但连续周期信号的傅里叶变换只有[mathjax]\int_\limits{T}[/mathjax],所以我们要正确理解向量内积公式。


昨天(2022-09-01)的笔记写得非常混沌。我本来打算结合2022-08-31的笔记,好好复习一下昨天的内容,但是突然发现有一个东西我突然就没法理解了:

2022-08-31,这里:

原文的内容:

等等,这是什么鬼?上面一行显然是这样,但下面一行是怎么得到的?

所以又补充了一些笔记,另外对上面这个公式进行一些评论:

注意到下面公式的红色部分:

[mathjax-d]<f(t), g(t)>\ {\color{red}{>:=}}\ \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)dt[/mathjax-d]

红色的部分[mathjax]>:=[/mathjax]表示 定义为 ,并不是 等于 ,所以可以理解为“一种抽象方法,用于描述一个无限长的东西的特征”。

比如现在我有1段无限长的、从宇宙尽头伸过来的均匀圆柱体钢管,我现在对钢管的 性质/特征 感兴趣,更确切地说,我对钢管的密度感兴趣。所以我要做的就是切下一段钢管进行称量,然后除以切下这段钢管的长度,得到一个所谓的“单位长度的密度”。在对上面的无限长信号进行分析的时候也是差不多的道理,只是限定了切下来的钢管必须为[mathjax]T[/mathjax](基波周期)的长度的正整数倍[mathjax]k[/mathjax],最后计算的时候也要相应地除以那个“基本周期的正整数倍[mathjax]k[/mathjax]”。(不然计算出来的密度就翻番了)

但现实计算中,谁会多此一举呢?我都已经知道钢管是均匀圆柱体、均匀密度了,称量计算密度的时候能少切一点是一点,对吧?所以回到上面那个公式,作者用基波周期[mathjax]T[/mathjax]来表示(而不是什么[mathjax]kT[/mathjax])也是非常合理的,因为再多的倍数进行计算也会最终转嫁到对基波周期[mathjax]T[/mathjax]的计算上去,到头来还要除以系数[mathjax]k[/mathjax],这属于没事找事。



 Last Modified in 2022-09-26 

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