2023-07-19 矩阵的一些补充内容

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前置

这篇笔记写在A1和A2做完以后（A2留了2道题没做）

一系列可能有关联的概念：

特征值，特征向量，内积，投影，正定，[mathjax]\cos(\theta)[/mathjax]（向量之间的夹角）

正定 positive-definite

正定 positive-definite：

🔗 [请问谁能用易于理解的语言解释下矩阵的正定及半正定？ - 知乎] https://www.zhihu.com/question/22098422

特征值与特征向量

参考过资料：

🔗 [如何理解矩阵特征值？ - 知乎] https://www.zhihu.com/question/21874816

🔗 [【熟肉】线性代数的本质 - 10 - 特征向量与特征值_哔哩哔哩_bilibili] https://www.bilibili.com/video/BV1Ls411b7oL/

总结：正定/半正定/特征值/特征向量

总结上面的内容：正定/半正定/特征值/特征向量

正定矩阵 positive-definite matrix

半正定矩阵 positive semi-definite matrix

半负定矩阵 negative semi-definite matrix

负定矩阵 negative-definite matrix

不定矩阵 indefinite matrix

特征值和 Eigenvalues

特征向量 eigenvectors

接下来涉及的矩阵乘法都是这个样子的：

上面这张图的等式要想成立其实并不容易，如果方块矩阵[mathjax]A[/mathjax]是固定不动的，只有少部分向量[mathjax]\overrightarrow{v}[/mathjax]才能满足等式成立。

等式成立的时候就像这样：

图片来自https://www.zhihu.com/question/21874816

所以，这个完整的过程大概是：

下面的内容主要来自对3blue1brown视频（BV1Ls411b7oL）的总结

方块矩阵[mathjax]A[/mathjax]：代表着对当前[mathjax]m[/mathjax]维空间的一种“坐标变换”（把空间扭曲成其他样子）

也就是说，上述等式的左半部分[mathjax]A\overrightarrow{v}[/mathjax]的意思就是说：对当前空间施加固定的空间变换规则[mathjax]A[/mathjax]，这样原空间的每个向量[mathjax]\overrightarrow{v}[/mathjax]在新的空间都变成了另一个向量（维度都是m x 1，只是数字变了）。

但仍然有少部分向量[mathjax]\overrightarrow{v}[/mathjax]在空间扭曲以后的方向不变，只是在同一个方向上拉伸了（有正方向拉伸，负方向拉伸，或者缩成0），这些特殊的向量就是特征向量 [mathjax]\overrightarrow{v}[/mathjax]；空间扭曲变换后拉伸的系数就是特征值 [mathjax]\lambda[/mathjax].

求解过程大概是这样的：

最关键的一步其实是用[mathjax]\text{I}\lambda[/mathjax]代替[mathjax]\lambda[/mathjax]：